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La Formule du Déterminant de la matrice 3 ×3

La formule standard pour trouver le déterminant d’une matrice 3 ×3 est une décomposition de problèmes de déterminants 2 × 2 plus petits qui sont très faciles à gérer. Si vous avez besoin d’un rappel, consultez mon autre leçon sur la façon de trouver le déterminant d’un 2× 2. Supposons qu’on nous donne une matrice carrée A où,

 La matrice A est une matrice carrée de dimension 3x3 dans laquelle la première ligne contient les éléments a, b et c ; la deuxième ligne contient les éléments d, e et f; et enfin, la troisième ligne contient dans les entrées g, h et i. En forme abrégée, la matrice A peut être exprimée comme A =.

Le déterminant de la matrice A est calculé comme suit

 Le déterminant de la matrice A = est calculé comme déterminant de A = det (A) = det = a fois déterminant de la matrice moins b fois déterminant de la matrice + c fois déterminant de.

Voici les points clés:

  • Notez que les éléments de la ligne supérieure, à savoir a, b et c, servent de multiplicateurs scalaires à une matrice 2 par 2 correspondante.
  • Le scalaire a est multiplié par la matrice 2×2 des éléments restants créés lorsque des segments de lignes verticales et horizontales sont tracés en passant par a.
  • Le même processus est appliqué pour construire les matrices 2×2 pour les multiplicateurs scalaires b et c.

Déterminant de la matrice 3 x 3 (animée)

 Il s'agit d'un fichier GIF animé qui montre la procédure étape par étape pour trouver le déterminant d'une matrice 3 par 3 avec les entrées a, b et c sur sa première ligne; les entrées d, e et f sur sa deuxième ligne; et les entrées g, h et i sur sa troisième rangée. La formule est det(A) = det = a * det - b * det + c * det.

Exemples de Comment Trouver le Déterminant d’une matrice 3×3

Exemple 1: Trouvez le déterminant de la matrice 3×3 ci-dessous.

 Il s'agit d'une matrice carrée 3x3 qui comporte les éléments suivants sur la première ligne, la deuxième ligne et la troisième ligne, respectivement; 2, -3 et 1; 2, 0 et -1; 1, 4 et 5. Sous forme compacte, nous pouvons écrire ceci comme.

La configuration ci-dessous vous aidera à trouver la correspondance entre les éléments génériques de la formule et les éléments du problème réel.

 une matrice 3x3 avec des éléments est égale à la matrice 3 par 3 avec des éléments

Application de la formule,

 la formule pour trouver le déterminant d'une matrice carrée (3x3) est le déterminant de = a fois le déterminant de moins b fois le déterminant de plus le c fois le déterminant de
 le déterminant de la matrice est calculé comme 2 fois le déterminant de moins (-3) fois le déterminant de plus 1 fois le déterminant dont le déterminant peut être encore simplifié comme 2+3+1= 2 (0+4) +3 (10+1) + 1 (8-0) = 2(4)+3(11)+1(8)=8+33+8=49, par conséquent, det = 49

Exemple 2 : Évaluer le déterminant de la matrice 3×3 ci-dessous.

 il s'agit d'une matrice carrée à 3 lignes et 3 colonnes, c'est-à-dire une matrice carrée de taille 3 x 3. il a des entrées de 1,3 et 2 sur sa première rangée; des entrées de -3, -1 et -3 sur sa deuxième rangée; et des entrées 2,3 et 1 sur sa troisième rangée. en format court, nous pouvons réécrire cela comme.

Soyez très prudent lorsque vous remplacez les valeurs aux bons endroits de la formule. Les erreurs courantes se produisent lorsque les élèves deviennent négligents lors de l’étape initiale de substitution des valeurs.

De plus, prenez votre temps pour vous assurer que votre arithmétique est également correcte. Sinon, une seule erreur quelque part dans le calcul donnera une mauvaise réponse à la fin.

Depuis,

 la matrice est égale à la matrice

notre calcul du déterminant devient…

 déterminant de = a * déterminant de - b * déterminant de + c * déterminant de
 det = 1 * det - 3 * det + 2 det = 1*-3*+2 * = 1(8) -3(3)+2(-7) = 8-9-14 = -15

Exemple 3: Résoudre pour le déterminant de la matrice 3×3 ci-dessous.

 matrice

La présence de zéro (0) dans la première ligne devrait faciliter notre calcul. N’oubliez pas que ces éléments de la première ligne agissent comme des multiplicateurs scalaires. Par conséquent, zéro multiplié par quoi que ce soit entraînera la disparition de l’expression entière.

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