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La formula del determinante della matrice 3×3

La formula standard per trovare il determinante di una matrice 3×3 è una suddivisione di problemi determinanti 2×2 più piccoli che sono molto facili da gestire. Se hai bisogno di un aggiornamento, controlla la mia altra lezione su come trovare il determinante di un 2×2. Supponiamo che ci venga data una matrice quadrata A dove,

La matrice A è una matrice quadrata con una dimensione di 3x3 in cui la prima riga contiene gli elementi a, b e c; la seconda riga contiene gli elementi d, e e f; e infine, la terza riga contiene nelle voci g, h e i. In forma breve, la matrice A può essere espressa come A = .

Il determinante della matrice A è calcolato come

Il determinante della matrice A = è calcolato come fattore determinante di A = det(A) = det = a volte determinante della matrice di meno b volte determinante della matrice a + c volte determinante .

Ecco i punti chiave:

  • Si noti che gli elementi della riga superiore, ovvero a, b e c, fungono da moltiplicatori scalari per una corrispondente matrice 2 per 2.
  • scalare una viene moltiplicato per il 2×2 matrice di sinistra-over elementi creati quando verticali e orizzontali segmenti di linea sono disegnati e passando attraverso un.
  • La stessa procedura è applicata per costruire la 2×2 matrici per scalare i moltiplicatori di b e c.

fattore Determinante di una Matrice 3 x 3 (animato)

Questo è un file GIF animato che mostra passo-passo la procedura come trovare il determinante di a 3 da 3 a matrice con le voci a, b, e c, prima riga; voci d), e) e f in seconda fila; e le voci g, h e i sulla sua terza fila. La formula è det (A) = det = a * det-b * det + c * det .

Esempi di come trovare il determinante di una matrice 3×3

Esempio 1: Trova il determinante della matrice 3×3 qui sotto.

Questa è una matrice quadrata 3x3 che ha i seguenti elementi sulla prima riga, seconda riga e terza riga, rispettivamente; 2, -3 e 1; 2, 0 e -1; 1, 4 e 5. In forma compatta, possiamo scrivere questo come .

Il set-up qui sotto vi aiuterà a trovare la corrispondenza tra gli elementi generici della formula e gli elementi del problema reale.

una matrice 3x3 con elementi pari a 3 da 3 a matrice con gli elementi

Applicando la formula,

la formula per trovare il determinante di una matrice quadrata (3x3) è determinante = a volte il determinante di meno b volte il determinante di più il c volte il determinante di
il determinante della matrice è calcolato come 2 volte il determinante di meno (-3) volte il determinante di più 1 volte il fattore determinante che può essere ulteriormente semplificata, come 2+3+1= 2 (0+4) +3 (10+1) + 1 (8-0) = 2(4)+3(11)+1(8)=8+33+8=49, pertanto det = 49

Esempio 2: Valutare il determinante della matrice 3×3 sottostante.

questa è una matrice quadrata con 3 righe e 3 colonne, cioè una matrice quadrata con una dimensione di 3 x 3. ha voci di 1,3 e 2 sulla prima riga; voci di -3, -1 e -3 sulla seconda riga; e voci 2,3 e 1 sulla terza riga. in formato breve, possiamo riscrivere questo come .

Fai molta attenzione quando sostituisci i valori nei posti giusti nella formula. Errori comuni si verificano quando gli studenti diventano incuranti durante la fase iniziale di sostituzione dei valori.

Inoltre, prenditi il tuo tempo per assicurarti che anche l’aritmetica sia corretta. Altrimenti, un singolo errore da qualche parte nel calcolo produrrà una risposta sbagliata alla fine.

Dal,

la matrice è uguale a matrice

il nostro calcolo del determinante diventa…

determinante = a * il determinante di b * determinante + c * determinante di
det = 1 * det - 3 * det + 2 det = 1*-3*+2 * = 1(8) -3(3)+2(-7) = 8-9-14 = -15

Esempio 3: Risolvere per il determinante di 3×3 matrice di seguito.

matrice

La presenza di zero (0) nella prima riga dovrebbe rendere il nostro calcolo molto più semplice. Ricorda, quegli elementi nella prima riga, fungono da moltiplicatori scalari. Pertanto, zero moltiplicato a qualsiasi cosa comporterà la scomparsa dell’intera espressione.

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