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La Fórmula del Determinante de Matriz de 3×3

La fórmula estándar para encontrar el determinante de una matriz de 3×3 es un desglose de problemas determinantes de 2×2 más pequeños que son muy fáciles de manejar. Si necesitas un repaso, echa un vistazo a mi otra lección sobre cómo encontrar el determinante de un 2×2. Supongamos que se nos da una matriz cuadrada A donde,

La matriz A es una matriz cuadrada con una dimensión de 3x3 en la que la primera fila contiene los elementos a, b y c; la segunda fila contiene los elementos d, e y f; y finalmente, la tercera fila contiene en las entradas g, h e i. En forma corta, la matriz A se puede expresar como A = .

El determinante de la matriz A se calcula como

El determinante de la matriz A = se calcula como determinante de A = det (A) =det = a veces determinante de la matriz menos b veces determinante de la matriz + c veces determinante de.

Estos son los puntos clave:

  • Observe que los elementos de la fila superior, a saber, a, b y c, sirven como multiplicadores escalares para una matriz correspondiente de 2 por 2.
  • El escalar a se multiplica a la matriz 2×2 de elementos sobrantes creados cuando se dibujan segmentos de líneas verticales y horizontales que pasan por a.
  • El mismo proceso se aplica para construir las matrices 2×2 para los multiplicadores escalares b y c.

Determinante de Matriz de 3 x 3 (animado)

Este es un archivo GIF animado que muestra el procedimiento paso a paso para encontrar el determinante de una matriz de 3 por 3 con entradas a, b y c en su primera fila; entradas d, e y f en su segunda fila; y entradas g, h e i en su tercera fila. La fórmula es det(A) = det = a * det - b * det + c * det .

Ejemplos de Cómo Encontrar el Determinante de una Matriz de 3×3

Ejemplo 1: Encuentre el determinante de la matriz 3×3 a continuación.

Esta es una matriz cuadrada de 3x3 que tiene los siguientes elementos en la primera fila, segunda fila y tercera fila, respectivamente; 2, -3 y 1; 2,0 y -1; 1, 4 y 5. En forma compacta, podemos escribir esto como .

La configuración a continuación le ayudará a encontrar la correspondencia entre los elementos genéricos de la fórmula y los elementos del problema real.

una matriz de 3x3 con elementos es igual a la matriz de 3 por 3 con elementos

Aplicación de la fórmula,

la fórmula para encontrar el determinante de una matriz cuadrada (3x3) es determinante de = a por el determinante de menos b por el determinante de más c por el determinante de
el determinante de la matriz se calcula como 2 veces el determinante de menos (-3) veces el determinante de más 1 veces el determinante de los cuales se puede simplificar aún más como 2+3+1= 2 (0+4) +3 (10+1) + 1 (8-0) = 2(4)+3(11)+1(8)=8+33+8=49, por lo tanto det = 49

Ejemplo 2: Evalúe el determinante de la matriz de 3×3 a continuación.

esta es una matriz cuadrada con 3 filas y 3 columnas, que es una matriz cuadrada con un tamaño de 3 x 3. tiene entradas de 1,3 y 2 en su primera fila; entradas de -3,-1 y -3 en su segunda fila; y entradas 2,3 y 1 en su tercera fila. en formato corto, podemos reescribir esto como .

Tenga mucho cuidado al sustituir los valores en los lugares correctos de la fórmula. Los errores comunes ocurren cuando los estudiantes se descuidan durante el paso inicial de sustitución de valores.

Además, tómese su tiempo para asegurarse de que su aritmética también sea correcta. De lo contrario, un solo error en algún lugar del cálculo producirá una respuesta incorrecta al final.

Desde,

matriz es igual a matriz

nuestro cálculo del determinante se convierte en…

determinante de = a * determinante de - b * determinante de + c * determinante de
det = 1 * det - 3 * det + 2 det = 1*-3*+2 * = 1(8) -3(3)+2(-7) = 8-9-14 = -15

Ejemplo 3: Resolver para el determinante de la matriz 3×3 de abajo.

matriz

La presencia de cero (0) en la primera fila debería hacer que nuestro cálculo sea mucho más fácil. Recuerde, los elementos de la primera fila, actúan como multiplicadores escalares. Por lo tanto, cero multiplicado a cualquier cosa resultará en que la expresión completa desaparezca.

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