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Die Formel der Determinante der 3 × 3-Matrix

Die Standardformel zum Ermitteln der Determinante einer 3 × 3-Matrix ist eine Aufschlüsselung kleinerer 2 × 2-Determinantenprobleme, die sehr einfach zu handhaben sind. Wenn Sie eine Auffrischung benötigen, lesen Sie meine andere Lektion, wie Sie die Determinante eines 2 × 2 finden. Angenommen, wir erhalten eine quadratische Matrix A wobei,

 Matrix A ist eine quadratische Matrix mit einer Dimension von 3x3, wobei die erste Zeile die Elemente a, b und c enthält; Die zweite Zeile enthält die Elemente d, e und f; und schließlich enthält die dritte Zeile in den Einträgen g, h und i. In kurzer Form kann Matrix A als A = ausgedrückt werden .

Die Determinante der Matrix A wird berechnet als

 Die Determinante der Matrix A = wird berechnet als Determinante von A = det (A) = det = a mal Determinante der Matrix minus b mal Determinante der Matrix + c mal Determinante von .

Hier sind die wichtigsten Punkte:

  • Beachten Sie, dass die obersten Zeilenelemente a , b und c als skalare Multiplikatoren für eine entsprechende 2-mal-2-Matrix dienen.
  • Der Skalar a wird mit der 2 × 2-Matrix der verbleibenden Elemente multipliziert, die beim Zeichnen vertikaler und horizontaler Liniensegmente durch a entsteht.
  • Das gleiche Verfahren wird angewendet, um die 2 × 2-Matrizen für die Skalarmultiplikatoren b und c zu konstruieren.

Determinante der 3 x 3 Matrix (animiert)

 Dies ist eine animierte GIF-Datei, die Schritt für Schritt zeigt, wie Sie die Determinante einer 3 x 3-Matrix mit den Einträgen a, b und c in der ersten Zeile finden. Einträge d, e und f in der zweiten Zeile; und Einträge g, h und i in der dritten Reihe. Die Formel lautet det(A) = det = a * det - b * det + c * det .

Beispiele für das Finden der Determinante einer 3 × 3-Matrix

Beispiel 1: Finden Sie die Determinante der 3 × 3-Matrix unten.

 Dies ist eine quadratische 3x3-Matrix mit den folgenden Elementen in der ersten Zeile, der zweiten Zeile bzw. der dritten Zeile: 2, -3 und 1; 2, 0 und -1; 1, 4 und 5. In kompakter Form können wir dies als schreiben .

Der folgende Aufbau hilft Ihnen dabei, die Entsprechung zwischen den generischen Elementen der Formel und den Elementen des tatsächlichen Problems zu finden.

 eine 3x3-Matrix mit Elementen ist gleich der 3 x 3-Matrix mit Elementen

Anwenden der Formel,

 die Formel, um die Determinante einer quadratischen Matrix (3x3) zu finden, ist Determinante von = a mal die Determinante von minus b mal die Determinante von plus die c mal die Determinante von
 die Determinante der Matrix wird berechnet als 2 mal die Determinante von minus (-3) mal die Determinante von plus 1 mal die Determinante davon kann weiter vereinfacht werden als 2+3+1= 2 (0+4) +3 (10+1) + 1 (8-0) = 2(4)+3(11)+1(8)=8+33+8=49, daher det = 49

Beispiel 2: Bewerten Sie die Determinante der folgenden 3 × 3-Matrix.

 dies ist eine quadratische Matrix mit 3 Zeilen und 3 Spalten, dh eine quadratische Matrix mit einer Größe von 3 x 3. es hat Einträge von 1,3 und 2 in seiner ersten Zeile; Einträge von -3, -1 und -3 in seiner zweiten Zeile; und Einträge 2,3 und 1 in seiner dritten Zeile. kurz gesagt, wir können dies als umschreiben .

Seien Sie sehr vorsichtig, wenn Sie die Werte an die richtigen Stellen in der Formel setzen. Häufige Fehler treten auf, wenn Schüler während des ersten Schritts der Ersetzung von Werten nachlässig werden.

Nehmen Sie sich außerdem Zeit, um sicherzustellen, dass Ihre Arithmetik auch korrekt ist. Andernfalls führt ein einzelner Fehler irgendwo in der Berechnung am Ende zu einer falschen Antwort.

Seit,

 matrix ist gleich Matrix

unsere Berechnung der Determinante wird…

 determinante von = a * Determinante von - b * Determinante von + c * Determinante von
 det = 1 * det - 3 * det + 2 det = 1*-3*+2 * = 1(8) -3(3)+2(-7) = 8-9-14 = -15

Beispiel 3: Lösen Sie nach der Determinante der folgenden 3 × 3-Matrix.

 matrix

Das Vorhandensein von Null (0) in der ersten Zeile sollte unsere Berechnung viel einfacher machen. Denken Sie daran, dass diese Elemente in der ersten Zeile als skalare Multiplikatoren fungieren. Daher führt die Multiplikation von Null mit irgendetwas dazu, dass der gesamte Ausdruck verschwindet.

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